L@ feuille à problèmes

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Editorial

Tisser des liens

Qu’est-ce qu’un beau problème ? Une telle définition dépend des gens, et même de l’humeur du jour. (Vous vous en apercevrez si je signe un nouvel éditorial.) (A ce titre, elle perd d’ailleurs son statut de définition...)

Bref. Pour moi, aujourd’hui, un beau problème, c’est un problème où l’on établit une connexion inattendue ; à défaut de l’établir, on l’utilise. C’est donc un problème qui se résout en-dehors du champ dans lequel il est posé, qui demande de « sortir du cadre ». Voir dans l’espace une figure donnée comme plane, par exemple ; ou convoquer la réciprocité quadratique pour décider que le 27ème chiffre de 1/53 est 9, parce que l'on sait que le 7ème chiffre de 1/13 est justement 9.

Exploiter une telle connexion, c’est exhiber un bout de structure, c’est illustrer la puissante cohérence des mathématiques. On tend ainsi un fil entre deux îlots de connaissance. Mais c’est encore plus fort si on peut explorer le voisinage de ce chemin. Lorsque le lien devient assez fort, il permet des allers-retours entre deux notions : ce que je ne sais pas d’un côté, je peux l’apprendre de l’autre. Partant, je ne suis plus un équilibriste précaire sur un fil, je peux marcher sur un solide pont. En termes un peu moins métaphoriques, il est des connexions qui enrichissent et éclairent les deux objets qu’elles lient.

Quel professeur se satisfait d’une connaissance en îlots chez ses élèves ? d’une vision pointilliste des mathématiques qui les fait apparaître comme une carte postale à vignettes, fort éloignée de l’unité illustrée ici, ici ou . Encore, si on peut convaincre les élèves que ces vignettes sont autant de portes qu'on pourra ouvrir, tout n'est pas perdu. Le stade suivant de compréhension, c’est lorsqu’on peut tendre des fils entre les îlots : d’abord des fils fragile sur lesquels l’équilibre est précaire, puis tout un réseau épais de liens.

Rude tâche que celle de tisser des liens, plus rude encore celle de les faire tisser. Or, me semble-t-il, la recherche de problèmes est un outil puissant, c’est là que les concepts prennent corps, épaississent —fuyants au début, ils prennent peu à peu leur consistance et leur ampleur.

Les problèmes de cette feuille numéro 10, orientée vers la géométrie, ont cette particularité : dans chacun d’entre eux, il y a un truc à inventer. Dans la plupart d’entre eux, on comprend bien —au moins a posteriori...— comment mettre en évidence la « structure cachée » sous la situation particulière. Parfois, le mystère reste entier même quand la solution est dévoilée : pourquoi est-ce que ça marche ? Profitons de ce charme préservé, et prenons-le comme un signe qu’il reste des connexions à établir !


Jérôme Germoni,
directeur de l'IREM de Lyon.
Octobre 2007

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