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  1. On donne 5 chiffres dans le désordre, est ce que ce peuvent être les chiffres d'un carré ?

L’entier n dont le nombre est susceptible d’être le carré est compris (au sens large) entre 100 et 316. En effet 3162 = 99 856 et 3172 = 100 489.

Si a est congru à b modulo c, alors a2 est congru à b2 modulo c.

Le tableau suivant donne quelques résultats


Reste de a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Carré (mod 4)

0

1

0

1








Carré (mod 9)

0

1

4

0

7

7

0

4

1



Carré (mod 10)

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1


Carré (mod 11)

0

1

4

9

5

3

3

5

9

4

1

Modulo 10, on peut voir que les chiffres possibles pour un carré sont : 0, 1, 4, 5 , 6, 9.

Si n = cdu = 10 cd + u, alors n2 = (cd)2 x 102 + 20 cd u + u2

Donc le chiffre des dizaines de n2 est le chiffre des unités de : 2 du + [u2 /10].

Exemples
Le nombre suivant (donné dans le désordre) est-il un carré ?

 

  1. Etant donné 5 chiffres, est ce qu'il existe deux (trois, quatre, cinq, six, sept ...) dispositions des chiffres qui donnent chacune le carré d'un entier.

C'est possible jusqu'à SIX disposition : voici la liste complète des possibilités .