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Enoncé :

On se donne n entiers x1, x2..... xn

Vrai ou faux ?

Il existe k termes consécutifs de cette suite, xi, xi+1..... xi+k-1, dont la somme est divisible par n.

Solution :

Commençons par former les sommes à partir du premier entier de la liste :

x1, x1+ x2, x1+ x2+x3, ...On peut former n telles sommes. Deux cas se présentent alors :

Mais alors, dans ce dernier cas, en considérant les restes de chacune des sommes dans la division par n, il existe n-1 restes possibles et n sommes : donc deux restes au moins sont égaux (c'est là que le principe des tiroirs intervient !)

On considère alors la différence de ces deux sommes qui est une somme d'entiers consécutifs de la suite initiale et dont le reste dans la division par n donne 0. CQFD