Nicolas Minet (Irem de Poitiers)
Do, ré, mi, fa, sol, la, si... On dit aujourd'hui de ces 7 notes qu'elles forment la "gamme diatonique de do majeur". Il serait faux de croire que le mysticisme du nombre 7 peut seul expliquer le choix . La tradition accorde à la "gamme de Pythagore" une place récurrente dans des textes de la Grèce Antique, relayés au Moyen Age par des personnages tel Boèce (VIème s.) ; cette gamme, ancêtre de nos gammes "diatoniques" aurait été élaborée à l'Ecole Pythagoricienne dans le cadre d'un culte voué aux nombres entiers et à la faculté qu'on leur prêtait de permettre la compréhension de l’Univers. L'objet de cette feuille à problèmes est de faire connaissance avec elle.Qu'on chante ou qu'on joue d'un instrument, on dispose d'un nombre variable de notes : si les pianistes n'ont pas d'autre issue que de jouer les 80 à 90 notes de leur clavier, c'est une infinité de notes qu’offrent la voix, un trombone, un violon... car si l’étendue des sons potentiels est limitée par la note "la plus grave" qu'on puisse produire et "la plus aiguë", aucune autre contrainte ne subsiste entre ces deux bornes.
Parfois, on parle de "8 notes" en disant : do, ré, mi, fa, sol, la, si, do. Peut-on considérer que les deux "do" sont deux notes différentes alors qu'elles portent le même nom ? Bien sûr, le 2ème do est plus aigu que le 1er ; plus précisément, sa fréquence est double de celle du premier ; par exemple, on obtient l'un en pinçant une corde d'une longueur donnée, et l'autre en pinçant la même corde, mais deux fois plus courte. On dit que le 2ème do est l'octave du 1er , ou encore que l'intervalle entre des deux notes est une octave.
Voici une première écoute :
Un "Do" de référence, puis du "Do" à l'octave inférieure de 1er et enfin du "Do" à l'octave supérieure du 1er
On a ainsi une impression particulière de "ressemblance" en entendant ces notes. On s'autorise donc à leur donner le même nom, de sorte que notre honneur est sauf, comme on peut se contenter de raisonner "modulo 7 (notes)" , nous restons dans le thème de la feuille à problèmes : "autour du nombre 7 " !
Voici maintenant quelques expériences sonores afin de rencontrer la gamme de Pythagore :
Puisqu’il faut choisir des notes pour chanter ou jouer de la musique, repartons de celles que nous avons déjà entendues, à savoir des notes à l’octave l’une de l’autre ; prenons une corde dont nous notons 1 la longueur (l’unité). Nous produisons une note à l’octave (supérieure) de ce son si la corde est de longueur moitié. Petite parenthèse, il n’est pas très difficile de se fabriquer un monocorde : une caisse de résonance en bois, des trépieds pour ne pas la poser à même le sol, vis et mécanique de guitare (trouvables dans un magasin de musique) pour tendre la corde.
En l’occurrence, c’est plutôt un bicorde, avec deux cordes aux caractéristiques identiques : même diamètre, même longueur et même tension, produisant ainsi le même son. L’intérêt d’avoir deux cordes est de pouvoir faire une comparaison entre le son de référence, produit par la corde de longueur 1, et un autre son, obtenu en réduisant la longueur de la corde vibrante (sans la couper !) en utilisant un chevalet mobile :
Nous dirons qu’une gamme se définit par une échelle de sons entre deux notes à l’octave l’une de l’autre, ce qui revient donc, en pensant "longueur de cordes", à choisir un ensemble de nombres compris entre 1/2 et 1 ...
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| note à l’octave | note de départ | ||
La gamme de Pythagore
- Pythagore aurait choisi de prendre, après la moitié, le tiers de la corde ; mais 1/3 n'est pas compris entre 1/2 et 1, ce qui impose de prendre plutôt la note à l’octave inférieure, qui nous donne, on le sait, une impression similaire, d'où le choix du nombre 2/3 . Pour les Pythagoriciens, que des fractions avec les premiers nombres entiers 1/2 et 2/3 donnent des sons consonants avec le son émis par la corde de référence était un signe fort pour les retenir, car ce sont des lois numériques qui étaient censées permettre de comprendre l’Univers.
Deux notes, ce n'est pas assez pour faire de la musique... Pythagore aurait utilisé le principe suivant : puisque la corde de longueur 2/3 "sonne bien" avec la corde de départ, une corde de longueur " les 2/3 des 2/3 " donnera la même impression avec la corde de longueur 2/3... On obtient ainsi une corde de longueur 4/9.
Mais comme 4/9 n'est pas compris entre 12 et 1, on prend le même son.. à l'octave inférieure en multipliant par 2 la longueur. On obtient donc une corde de longueur 8/9 :
Et ainsi de suite.......A vous de continuer (jusqu’où ?...)
Vers des réponsesVoici les rapports de la gamme de Pythagore (notation "américaine" des notes : C = do, D = ré, etc...)
Voici un instrument correspondant : chaque corde a pour longueur l’une des fractions ci-dessus.
Cette gamme de Pythagore a des avantages : elle utilise un principe naturel, celui de la voix humaine, dit des " quintes justes " ; traduction : la fraction 2/3, base de la construction de la gamme, est la cinquième note de la liste, une fois réordonnée (le sol (G) dans le schéma ci-dessus) ; c’est pourquoi ce cheminement est appelé le " cycle des quintes ". On peut signaler que ce cycle ne se referme pas car on ne retombera jamais sur une note déjà rencontrée. Pourquoi, au fait ?
Parmi les inconvénients de la gamme de Pythagore, elle ne permet pas de "transposer" ; le problème de la transposition peut se rencontrer dans la situation suivante : on commence à chanter une mélodie jusqu'à ce qu'on réalise qu’on ne va pas pouvoir aller au bout, car les notes à chanter vont devenir trop aiguës pour nous ; nous reprenons donc le chant à partir d'une note de départ plus grave, décalant d'autant les autres notes de manière instinctive avec une justesse plus ou moins heureuse : mais peut-on sur un instrument fabriqué avec une échelle de notes fixées (comme par exemple celui à 8 cordes ci dessus), décaler toutes les notes en conservant l'impression de reconnaître la mélodie ? Ou bien cela impose-t-il des règles pour l’échelle ?
Les réponses sont "non" à la 1ère question et "oui" à la 2nde.
Autrement dit, si on joue les trois premières cordes, puis les trois dernières, on ne joue pas le " même air ", même décalé.
Voici une mélodie suivie d’une version "transposée" en gardant le même rapport de fréquences d’une note à l’autre que dans la mélodie de départ : si la mélodie est a, b, c alors la transposée est : d, db/a, dc/b
EcoutezVoici la même mélodie, puis sa version " transposée " en gardant la même différence de fréquences d’une note à l’autre que dans la mélodie de départ : si la mélodie est a, b, c alors la transposée est : d, d + (b – a), d + (c – b)
EcoutezSi l’on accepte ainsi que, ce qui compte pour reconnaître une mélodie transposée, c’est d’avoir une échelle géométrique (car la seconde écoute, transposition arithmétique, heurte l’oreille en général), on constate que la gamme de Pythagore ne convient pas car les fractions ne sont pas les termes d’une suite géométrique. Voici à nouveau la gamme de Pythagore, une gamme dite " également tempérée ", et enfin les deux superposées
On constate en les entendant simultanément la présence de " battements ", convaincant qu’il y a bien une différence entre les deux... Ainsi, une guitare ou un piano sont conçus théoriquement en respectant une échelle de sons géométrique à 12 notes. Mais il y a d’autres inconvénients car les quintes " justes ", naturelles, ont disparu de l’échelle : c’est-à-dire qu’aucune note n’a plus de fréquence égale aux 2/3 d’une autre note. Un piano, qui serait ainsi construit en théorie, peut donc difficilement s’accorder " justement " avec une personne qui chante. C’est l’avènement des instruments à clavier qui au début du XVIIème siècle a imposé ce choix en Europe. Ces quelques lignes amènent à la conclusion suivante: une gamme est une affaire de compromis, et le nombre de notes est un paramètre influencé à la fois par des raisons culturelles, puisque variable selon les civilisations et les époques, et physiologiques car liés au fonctionnement interne de l'oreille.
On peut trouver au moins une autre raison a posteriori pour expliquer le choix de certaines notes, avec la théorie de Fourier sur les "harmoniques", qui permet sans que cela ait été l'intention initiale de Fourier, une modélisation mathématique des "partiels" d'un son physique.
Mais c'est une autre histoire, qui illustre bien à mon sens l'expression : "la Science permet de mieux comprendre le Monde"...
Sources
[1] SPIESSER Maryvonne.
"Histoire de moyennes. Les moyennes (ou médiétés) arithmétiques, géométriques, harmonique,... dans la Grèce antique."
Publication de l’IREM de Toulouse : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/ITO97002.htm
[2] PROUST Dominique.
" L’harmonie des sphères"
Collection " Science ouverte ", chez Seuil
[3] Bernard PARSZYSZ
" Musique et Mathématiques "
Brochure de l’APMEP n° 53