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On trouve facilement les multiples de 2, 22, 23,24
2
12
112
2112
Ce qui suggère de définir une suite où chaque terme s'obtient en plaçant un 1 ou un 2 à gauche du terme précédent. On peut montrer par récurrence qu'on obtient bien ainsi une suite (et une seule) de multiples de 2n.
En effet, soit un =k 2n, dont l'écriture est composée de n chiffres égaux à 1 ou 2.
Si k est pair, k.2n + 2. 10n est un multiple de 2n+1.
Si k est impair, k.2n + 1.10n=2n(k+5n) est un multiple de 2n+1
Il reste à prouver que cette suite est la seule qui répond à la question.
(Sachant que 2112 est multiple de 24, on est sûr que l'un des deux nombres 22112 et 12112 est multiple de 25, mais pourquoi écarter d'emblée 21212 ou 12222 ?)
Soit un multiple de 2n+1 composé de n+1 chiffres, et supprimons son premier chiffre. Cela revient à lui soustraire un multiple de 10n, donc un multiple de 2n. Le nombre obtenu est donc un multiple de 2n. Par conséquent, si un est unique, un+1 aussi.