Qu'est-ce qu'une simulation ?

Le paradoxe de Bertrand

Qu'est-ce qu'une simulation ?

On trace au hasard une corde dans un cercle. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit ?

"Ce problème, connu sous le nom de "paradoxe de Bertrand" a donné lieu à de nombreuses controverses ; citons en particulier l'étude que Poincaré en a faite dans "Calcul des probabilités", et celle de Borel, qui écrit dans "Le Hasard" :
" Joseph Bertrand, dans son célèbre ouvrage sur le Calcul des Probabilités, a critiqué la théorie des probabilités continues...la conclusion de Bertrand paraît être que les problèmes de probabilités continues sont de purs jeux mathématiques, mais ne correspondent à aucune réalité...Cette attitude sceptique n'est pas en rapport avec les faits. On peut s'en rendre compte aisément en empruntant un exemple même de Bertrand..." Et Borel cite et traite le problème de Bertrand à l'appui de sa thèse.
Pour approfondir la question, lire un article de Michel Henry, publié dans le n° 51 de Repères-IREM.
L'expression "prendre au hasard une corde dans un cercle" n'a pas d'interprétation unique. Pour simuler l'expérience comme pour entamer un calcul de probabilités, il est nécessaire de choisir des hypothèses de départ. Toute simulation s'appuie sur un modèle et vise à explorer ce modèle. L'utilisation de l'ordinateur peut constituer un piège dans la mesure où le modèle n'est pas apparent. Cette absence de transparence peut entraîner un excès de confiance ou au contraire de défiance vis-à-vis des résultats observés.

Première simulation

Deuxième simulation

Troisième simulation

Premier choix : On peut pour des raisons de symétrie, fixer une des extrémités de la corde en un point A du cercle. Toute corde est alors déterminée par la donnée de l'angle qu'elle forme avec la tangente en A au cercle.	Deuxième choix : Toujours pour des raisons de symétrie, on peut s'intéresser uniquement aux cordes perpendiculaires à un diamètre donné du cercle. Chaque corde est alors déterminée par la donnée d'un point sur ce diamètre.	Troisième choix : Une corde est déterminée par son milieu, donc par la position d'un point à l'intérieur du cercle.

La corde AM est plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit lorsque l'angle a est compris entre 0 et pi/3 ou entre 2pi/3 et pi. La probabilité cherchée est dans ce cas de 2/3.	La condition est réalisée si le point I se trouve sur le segment [AK] ou le segment [BH]. La probabilité est donc égale au rapport des longueurs (AK +BH)/ AB. La probabilité est égale à 1/2.	La condition est réalisée si la longueur OI est supérieure à OH , c'est-à-dire à la moitié du rayon, donc si I est situé dans la couronne représentée ci-dessus. La probabilité cherchée est alors égale au rapport de l'aire de cette couronne à l'aire du disque complet, soit : On trouve une probabilité égale à 3/4.
Cette solution suppose que l'angle xAM a une distribution de probabilité uniforme sur [0,2pi].	On a supposé ici que la répartition de probabilité de la variable I (le milieu de la corde) est uniforme sur le diamètre [AB].	Cette solution suppose que la variable milieu de la corde a une distribution uniforme sur la surface intérieure au cercle.