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Anagrammes de carrés
Quelques indications.
Ce problème peut être proposé en approfondissement du problème "carrés particuliers". C'est un problème de recherche difficile, aussi faut-il prévoir une recherche par groupes, avec mise en commun des stratégies.
Il est posé de façon plus générale dans la partie "remue-méninges", accompagné de deux logiciels d'aide. Le choix des nombres oriente évidemment la recherche vers telle ou telle propriété arithmétique.
Série 1. Sans calculatrice !
703 , 322, 337, 481, 952
Avec des nombres de trois chiffres, il n'est pas absurde d'écrire les carrés parfaits compris entre 148 et 952. Si des élèves se dirigent vers cette voie, on peut leur suggérer d'observer la suite 1,4,9, 16,25... pour en déduire un calcul facile.
Le but de cette première série est de faire surgir quelques critères simples permettant de réduire le nombre de "candidats", entre autres :
- Le chiffre des unités ne peut être aucun des chiffres 2, 3, 7, 8
- Si un carré est pair, il est multiple de 4
- Si un carré est multiple de 10, il est multiple de 100
- Un carrré peut se décomposer en produit de carrés...
Ainsi 322 ne fournit que deux candidats : 232 et 322, 322 n'est pas multiple de 4, reste 232 que l'on peut éliminer parce que 232 = 4x58, ou parce qu'il est compris entre deux carrés successifs 169 et 256...
Série 2
20448, 35716, 42576, 41325, 51022
Il est nécessaire de faire intervenir d'autres critères, somme des chiffres, couples possibles pour le chiffre des dizaines et celui des unités...
On peut éliminer d'emblée 42576 et 41325, qui ne peuvent former que des multiples de 3 non multiples de 9. Pour les trois restants, l'examen des couples dizaine-unité possibles restreint les cas à examiner.
Suivant le niveau de la classe et le degré de généralité des critères obtenus, on pourra choisir ou non de proposer les séries suivantes.