Anagrammes de carrés : éléments de solution

1. On donne 5 chiffres dans le désordre, est ce que ce peuvent être les chiffres d'un carré ?

• Encadrement

L’entier n dont le nombre est susceptible d’être le carré est compris (au sens large) entre 100 et 316. En effet 316² = 99 856 et 317² = 100 489.

• Congruences

Si a est congru à b modulo c, alors a² est congru à b² modulo c.

Le tableau suivant donne quelques résultats

Modulo 10, on peut voir que les chiffres possibles pour un carré sont : 0, 1, 4, 5 , 6, 9.

• Chiffre des dizaines

Si n = cdu = 10 cd + u, alors n² = (cd)² x 10² + 20 cd u + u²

Donc le chiffre des dizaines de n² est le chiffre des unités de : 2 du + [u² /10].

Exemples
Le nombre suivant (donné dans le désordre) est-il un carré ?

• 01469 Non, en effet il est congru à 2 (modulo 9) ce qui n’est pas possible pour un carré.

• 35788 Non.
  Le chiffre des unités du carré (et donc aussi celui du nombre) est 5 (cf modulo 10).
  Donc (cf Chiffre des dizaines) le chiffre des dizaines de n² est le chiffre des unités de :
  2 x 5 x d + [25 /10] soit 2 ce qui n’est pas possible.
  
• 35773 Non
  Le chiffre des unités du carré (et donc aussi celui du nombre) est 5 (cf modulo 10). Le chiffre des dizaines du carré peut être 3 ou 7, mais alors le carré serait (modulo 4) congru à 3 (comme 35 ou 75) ce qui n’est pas possible pour un carré.

2. Etant donné 5 chiffres, est ce qu'il existe deux (trois, quatre, cinq, six, sept ...) dispositions des chiffres qui donnent chacune le carré d'un entier.

C'est possible jusqu'à SIX disposition : voici la liste complète des possibilités .