Le bouton «Mélange» ci-dessous bat les cartes, de deux manières possibles :
- dans le sens «normal», on intercale une carte de la première rangée, une carte de la deuxième,
etc. ; de façon équivalente, on lit les cartes de haut en bas et de gauche à droite,
puis on les place de gauche à droite et de haut en bas ;
- dans le sens «inverse», on lit les cartes de gauche à droite et de haut en bas,
puis on les place de haut en bas et de gauche à droite.
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Question : combien de fois faut-il mélanger pour retrouver la situation initiale ?
Pourquoi ?
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Les 32 cartes sont codées par une suite de cinq chiffres égaux à 0 ou 1.
(Pourquoi cela fait-il le bon nombre de symboles ?) On applique les règles suivantes :
- le premier chiffre indique si la couleur est majeure
(0 pour pique et cœur) ou mineure (1 pour carreau et trèfle) ;
- le deuxième chiffre indique si c'est la plus forte des deux couleurs
(0) ou la plus faible (1) ;
- le troisième chiffre (la «catégorie») indique si la carte est une figure (0 pour as, roi, dame, valet)
ou pas (1 pour 10, 9, 8, 7) ;
- le quatrième chiffre (la «sous-catégorie») indique si la carte est forte dans sa catégorie
(0 pour as, roi, 10 et 9) ou pas (1 pour dame, valet, 8 et 7) ;
- le cinquième chiffre indique si la carte est forte dans sa sous-catégorie (0 pour as, 10, dame et 8)
ou pas (1 pour roi, 9, valet et 7).
Les cartes dans leur position initiale sont numérotées de 0 à 31 : le
code est simplement ce numéro, écrit en base 2.
On constate que mélanger, c'est effectuer une permutation circulaire
sur les chiffres de la position des cartes.
NB : si on remplace 32 par un nombre pair quelconque, la question du nombre de
coups minimal pour revenir à l'état initial a encore un sens. Réponse
ici.