On se limitera à un parcours entre deux faces adjacentes du cube. N'hésitez pas à nous faire part d'une étude plus complète !
Cette solution s'inspire très fortement de la brochure de l'IREM de Besançon : De la sphère au plan, Presses Universitaires de Franche-Comté, 2005
Notons M-N le chemin de M à N en restant sur les faces du cube, M étant sur la face ABCD et N sur la face CDD'C'. Ce chemin coupe une ou plusieurs arêtes du cube.
Montrons d'abord que le chemin le plus court ne peut pas traverser 3 arêtes ; en effet, dans ce cas, le chemin devrait traverser une face puisque deux arêtes seront opposées sur une face, et donc sa longueur serait supérieure à celle que l'on pourrait atteindre en ne traversant pas la face.
Il reste alors à examiner les cas où le chemin traverse deux arêtes et celui où il traverse une arête. Il s'agit donc de comparer la distance parcourue en coupant une ou deux arêtes. Le chemin le plus court étant la ligne droite sur un développement du cube ; mais lequel choisir ?
La figure suivante représente le cube développé suivant deux faces ; il est possible de voir une image dynamique pour peu que vous acceptiéz les ActiveX du Creem (attention, uniquement sur Internet Explorer)
Cliquez sur l'image pour voir la figure dynamique.
Développons le cube de deux façons différentes : à partir de la face ABCD, et le point P vient sur P1 où selon la face CBB'C' et M se place en m1 et P en P2. Pour des raisons de symétries, on négligera d'examiner le cas où l'on développerait le cube suivant la face AA'D'D.
Il s'agit alors de comparer les distances Mp1 et M1P2. On peut représenter cette situation dans le plan en plaçant le point M sur la face ABCD et les développés P1 (qui coïncide avec P sur le dessin) et P2 sur les faces développées CDD'C'. En dessinant la médiatrice de PP2, et suivant que M se trouve d'un côté ou de l'autre de cette médiatrice, la distance la plus courte sur le cube passe par l'arête CD ou bien coupe la face BB'C'C.