Est ce que = 1 ?

Ce problème provoque une certaine déstabilisation. Devant « l'absurdité » de la conclusion, ce sont tout d'abord les calculs (Théorème de Pythagore) qui sont remis en cause puis, une fois ceux ci vérifiés, on peut voir certains accepter tranquillement le fait qu'après tout, peut être que = 1.

Heureusement pour l'enseignant ce n'est pas le comportement le plus fréquent et certains groupes vont s'interroger sur le sens de « tendre vers ».

Certains calculent la hauteur des triangles et montrent qu'il s'agit d'une suite géométrique de raison ½ qui tend donc vers 0, ce qui semble conforter l'affirmation paradoxale de l'énoncé. En effet comment la ligne brisée pourrait-elle ne pas tendre vers le segment si l'écart maximum entre les deux tend vers 0 ?

L'intuition des élèves s'appuie sur quelques exemples déjà rencontrés, en particulier l'approximation de Pi au moyen du calcul du périmètre des polygones inscrits dans un cercle, dont le résultat a été présenté le plus souvent sans démonstration.

Il faut essayer de leur faire comprendre comment le fait que l' « écart » entre ligne brisée et segment (au sens de distance maximum ou au sens d'aire) ne suffit pas à faire converger les longueurs. Le calcul de la longueur d'une courbe fait intervenir des dérivées ; dans les exemples donnés, les pentes des "dents de scie" expliquent les résultats.

C'est le but des activités proposées ensuite : "tracer" une courbe de longueur infinie dans un rectangle dont l'aire tend vers 0, comparer plusieurs cas de lignes brisées tendant vers le même segment.

Remarques :

1. Faire construire effectivement les figures - on peut ne donner aucune figure, seulement la description du processus de construction - peut aider à s'approprier le problème et en particulier conforter la conviction que la ligne brisée tend vers le segment.
2. Dans sa thèse Aline Robert¹ a montré qu'un problème comme « une suite à termes positifs qui converge vers 0 est-elle nécessairement décroissante ? » est très mal résolu par des étudiants en mathématiques, mêmes avancés, et que les modèles qu'ils mobilisent sont très divers :

• le modèle « barrière » : Ses valeurs ne peuvent pas dépasser... » ...
• les modèles dynamiques : «Les images se rapprochent d’un nombre de plus en plus près »
• le modèle pré-statique : « Les éléments de la suite finissent par se trouver dans un voisinage de » ...

Voir à ce sujet une présentation du nouveau programme de Première S sur le site de l'IUFM de la Réunion.