Groupe DEMOZ
INRP-IREM-Rectorat de Lyon
Suite à une leçon portant sur les cercles circonscrit et inscrit dans un triangle, un élève a demandé s’il était possible d’inscrire un carré dans un triangle. Cette question qui ouvre sur un problème classique [1], a été l’occasion de proposer aux élèves une narration de recherche, d'abord dans la classe de l'élève, puis dans une autre du même établissement.
Le travail proposé a été effectué dans deux classes de quatrième du Collège Paul Emile Victor de Rillieux, un collège classé ZEP. Les classes sont constituées d'élèves de niveau scolaire hétérogène, avec lesquels il n'est pas toujours simple de pouvoir se mettre au travail sur toute la durée d'une séance.
Dans la première classe, l'énoncé a été volontairement vague, pour être au plus proche de la question initiale de l’élève:
Cela a permis une première réflexion orale avec la classe sur ce qui était entendu par « inscrit dans le triangle », les élèves sont parvenus (dans l’ensemble) à l’idée que l’un d’un côté du carré devait se placer sur l’un des côtés du triangle. Ils ont eu ensuite une semaine pour rédiger et remettre leur narration de recherche. (Voir Annexe 1)
Dans l'autre classe, on a proposé aux élèves de réfléchir sur deux problèmes d'énoncés voisins:
Les élèves avaient toute la séance pour essayer de trouver une méthode de tracé, puis pour rédiger un compte-rendu de leur recherche de méthodes. A la différence de la situation initiale, le problème du cercle inscrit est clairement au programme de quatrième.
Il est, bien sûr possible de proposer cette activité avec d'autres scenarios ; voir, par exemple une proposition
Dans le cadre de la réflexion de notre groupe DEMOZ sur l'enseignement de la démonstration en quatrième, nous avons décidé de voir quel effet sur nos classes ce problème pouvait avoir, en particulier dans l'optique de rendre nécessaire la démonstration d'un résultat.
Par rapport à une séquence "classique" avec ces classes, le travail fourni par l'ensemble des élèves a sensiblement été meilleur, en quantité en tout cas. Tous ont fourni à la fin de l'heure des traces de leur recherche (constructions, dessins,…), et la plupart ont tenté de retranscrire par écrit leur démarche.
Peu ont fourni une méthode générale pour obtenir le tracé du carré, la plupart se contentant d'une réponse dans un cas particulier (souvent celui d'un triangle rectangle). Plusieurs ont construit d'abord le carré, puis le triangle "autour", soit qu’ils n’aient pas compris l’énoncé, soit qu’ils aient ainsi contourné la difficulté.
Le problème du cercle inscrit a obtenu le même genre de réponse : étude de cas particulier (ici le triangle équilatéral), et ordre de tracé inversé. Deux élèves ont tenté (avec succès) d'utiliser les droites remarquables du triangle pour obtenir le centre du cercle, avant de réutiliser cette stratégie sur le carré. Certains ont même combiné les deux problèmes en inscrivant le carré dans le cercle inscrit, ou le contraire.
Lorsque, dans la séance de bilan, nous avons étudié les méthodes obtenues avec les élèves, il y a toujours eu de leur part un fort intérêt pour l'obtention du carré et du cercle inscrits. Mais, ils ne voient pa l’intérêt de prouver la rigueur de la méthode de tracé choisie. La situation ne semble pas être un bon candidat pour justifier aux yeux des élèves l’usage de la démonstration.
Après cette expérimentation nous avons réorienté les objectifs assignés à la situation : d’une part, c’est une bonne situation de recherche même si elle ne paraît pas, telle quelle, motiver le besoin de preuve. Pour autant, dans le cadre plus général de l'apprentissage de la démonstration, le problème stimule la réflexion et met en action la classe en entier ; c’est d’autre part l’occasion de présenter, à travers la narration de recherche, la démarche suivie et travailler sur la rédaction.
Nous avons élaboré un nouveau scenario (voir annexe 2) ; signalons aussi deux articles de Repères IREM, décrivant des situations de classe sur ce même problème, en seconde de lycée professionnel et en seconde générale.
Annexe 1: Productions d’élèves dans la classe initiale
Quel que soit le niveau des élèves, ils se sont investis dans le problème et ont montré beaucoup de volonté dans leurs démarches.
Dans la production suivante, on observe une méthode « par abandon de contrainte », souvent productive en géométrie (voir Annexe 3)
On retrouve encore l’abandon de contrainte dans la production suivante qui a été particulièrement riche en échanges incluant la famille de l’élève !
Annexe 2: Proposition alternative de séquence de recherche (avec indices)
Présentation de l’activité :
Déroulement de l’activité :
Enoncé
On a déjà appris comment inscrire un cercle dans un triangle, peut on faire la même chose avec un carré ?
On conviendra de la définition suivante :
Un carré IJKL est inscrit dans un triangle ABC si :
· un de ses côtés (ici [LK]) est sur un des côtés du triangle (ici [AC])
· les deux autres sommets (ici I et J) appartiennent aux deux autres côtés du triangle (ici I appartient à [AB] et J appartient à [BC] ).
On considère le triangle ABC ci-dessous.
Construire un carré IJKL inscrit dans ce triangle.
AIDE n°1 :
Construire sur cette figure un premier carré I’J’K’L’ tel que :
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AIDE n°2 :
Construire sur cette figure plusieurs carrés sur le modèle de l’aide n°1.
Que constate-on pour le point J’?
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Annexe 3 : Pistes de solutions (uniquement des heuristiques)
Une première approche, utilisable au collège :
Une idée féconde est l’homothétie qui peut être introduite avec nos élèves par l’idée de réduction ou d’agrandissement, elle nous donne dans cette feuille, deux solutions :
En restant dans le carré :
Pour cela on trace un carré dans le triangle dont l’un des sommets n’est pas inscrit.
Ensuite on « agrandit » le carré via la droite en vert, le carré cherché est le carré dont le sommet est sur l’un des autre côté du triangle.
En dehors du carré :
L’idée ici, c’est toujours la notion d’homothétie, on trace un carré à partir de l’un des côté du triangle, on trace deux droites à partir du sommet opposé, les points d’intersection avec le premier côté permettent de tracer le carré cherché.
Une deuxième approche :
Une deuxième approche possible s’appuie sur le fait que le côté du carré inscrit, dans un triangle de base b et de hauteur h associée, mesure la moitié de la moyenne harmonique de b et h.
Autrement dit le côté mesure bh/(b+h).
Construire un triangle auxiliaire :
L’idée est ici de construire un triangle rectangle de côté b et (b+h).
Les droites vertes déterminent la longueur du côté du carré inscrit (on trouvera une démonstration proposée en réponse à un élève par l’enseignant)
Construire un trapèze auxiliaire :
L’idée s’appuie ici sur un résultat non trivial. En effet dans un trapèze les diagonales déterminent un segment qui est la moyenne harmonique de la petite et de la grande base. Pour cela il faut tracer les deux diagonales, et tracer la parallèle à la base du trapèze passant par le point d’intersection des deux diagonales, le segment ainsi déterminé dans le trapèze est la moyenne harmonique cherchée.
Dans notre cas, on trace un segment perpendiculaire à une des bases du triangle et de même longueur. Une diagonale du trapèze, déterminé par la hauteur et le segment précédemment construit, est un côté du triangle, il suffit donc de tracer la seconde diagonale, l’intersection ainsi trouvée avec le triangle permet de tracer le carré inscrit.