Commentaire

1. Soit la proposition "dans tout orchestre, tous les instrumentistes ont le même instrument".

Appelons n le nombre (fini) d'instrumentistes dans un orchestre.

Si n = 1, cette proposition est vraie.
Soit un entier n vérifiant la propriété et considérons un orchestre ayant n + 1 instrumentistes : x₁, x₂, _… x_n+1

2. Soit la proposition "dans tout orchestre, tous les instrumentistes sont des cornistes".

Appelons n le nombre (fini) d'instrumentistes dans un orchestre.

Si n = 0, la proposition est vraie.
Supposons qu'elle soit vraie pour tout entier k inférieur ou égal à n. Avec un orchestre ayant n + 1 instrumentistes vous pouvez former deux sous-orchestres ayant chacun un nombre d'instrumentistes strictement plus petit que n + 1 ; appliquez alors l'hypothèse de récurrence à chacun de ces sous-orchestres et … concluez que la proposition envisagée est vraie.

3. Soit la propriété P(n) : 3²ⁿ - 2^n-3 est un multiple de 7

Montrer que cette propriété est héréditaire ( pour n>2)
Que peut-on en déduire ?

4. Soit la propriété P(n) : 3²ⁿ - 2^n-1 est un multiple de 7

Montrer que cette propriété est héréditaire ( pour n>0)
Que peut-on en déduire ?

5. Soit la propriété P(n) : 2ⁿ = (-1)ⁿ

P(0) est vraie
Montrons que la propriété est héréditaire.
Soit k un entier tel que 2^k = (-1)^k
2^k+1 =2^k +2*2^k-1
2^k+1 =(-1)^k +2*(-1)^k-1
2^k+1 =(-1)^k( 1 - 2) = (-1)^k+1
Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier positif.
NON ?

Explication