Chapitre 2 : où le motif tourne et se répète
Un exemple
Dans la partie précédente, on a vu que
7×142 857 = 999 999, et que ceci entraîne que
142 857 est le motif du développement décimal de 1/7.
Premier constat : si on multiplie le motif de 1/7 par 3 ou 4, le produit
est une permutation circulaire des chiffres :
| 1×142 857 = 142 857 |
| 3×142 857 = 428 571 |
| 4×142 857 = 571 428 |
Second constat : 3/7 et 4/7 admettent le même motif de période que
1/7 :
| 1/7 = 0,142 857 142 857... |
| 3/7 = 0,428 571 428 571... |
| 4/7 = 0,571 428 571 428... |
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Problème :
Pouvez-vous expliquer comment déduire un constat de l'autre ?
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Un autre exemple
Constat :
| 1×76 923 = 076 923 |
| 3×76 923 = 230 769 |
| 9×76 923 = 692 307 |
On rappelle que 13×76 923=999 999.
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Problème :
Pouvez-vous prédire le développement décimal de 3/13 et 9/13 ?
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Généralisation
Constat :
| 5×76 923 = 384 615 |
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5/13 = 0,384 615 384 615 ... |
| 6×76 923 = 461 538 |
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6/13 = 0,461 538 461 538 ... |
| 8×76 923 = 615 384 |
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8/13 = 0,615 384 615 384 ... |
Problème :
Il revient au même de dire que
- en multipliant le motif de 1/p par j et k (1<j,k<p), les
deux produits s'obtiennent par permutation circulaire l'un de l'autre ;
- j/p et k/p admettent le même motif de période.
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