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Chapitre 1 : où les neufs s'enchaînent

Un exemple

Premier constat :
7×142 857 = 999 999.

Second constat :
1/7 = 0,142 857 142 857...

Problème : Pouvez-vous expliquer comment déduire le second constat du premier ? et l'inverse ?

Un autre exemple

On donne : 13×76 923 = 999 999.
Problème : Calculer le développement décimal de 1/13.

Généralisation

Soit p un nombre impair dont le dernier chiffre n'est pas 5. Un théorème, appelé théorème de Fermat, permet de montrer qu'il existe des entiers d et n tels que
n×p = 10d-1 = 99...99   (d chiffres 9)
On appelle N la suite de d chiffres obtenue en écrivant des zéros à gauche du développement décimal de n.
Par exemple, si p = 7, on a : d = 6, n = 142 857, et N = 142 857. Si p = 13, on a aussi d = 6, n = 76 923, et N = 076 923.
Problème : Montrer que le développement décimal de 1/p s'écrit en répétant une infinité de fois N, la suite de chiffres obtenue en ajoutant des zéros à n de sorte que N ait d chiffres :
1/p =  0,NNNNN... ?